Nach seinem Realgymnasialabschluss in Brünn (heute Brno, Tschechien) studierte Gödel seit 1924 Physik an der Universität Wien, wechselte aber 1926 unter dem Eindruck der Vorlesungen Philipp Furtwänglers (1869–1940) zur Mathematik. 1925/26 hörte er bei Moritz Schlick (1882–1936) ein Seminar über Bertrand Russells (1872–1970) „Introduction to Mathematical Philosophy“. Zu Gödels wichtigsten Mentoren zählte auch Hans Hahn (1879–1934), bei dem er 1929 zum Dr. phil. promoviert wurde. Von 1926 bis 1928 nahm Gödel an dem von Schlick und Hahn geleiteten Diskussionszirkel teil, der vom Positivismus Ernst Machs (1838–1916) beeinflusst war und aus dem der neopositivistische Wiener Kreis hervorging. 1929 wurde Gödel von Karl Menger (1902–1985), ebenfalls Hahns Schüler, eingeladen, an dem von ihm organisierten Mathematischen Kolloquium teilzunehmen, in dem auch mathematische Grundlagenfragen diskutiert wurden.

In seiner 1930 publizierten Dissertation „Über die Vollständigkeit des Logikkalküls“ zeigte Gödel, dass jede allgemeingültige Formel der klassischen Prädikatenlogik erster Stufe, in der also der Satz vom ausgeschlossenen Dritten gilt, aus einem geeigneten Axiomensystem für diese Logik ableitbar ist. Dieses Axiomensystem ist also semantisch vollständig (Vollständigkeitssatz). 1930 bewies Gödel in dem 1931 als Habilitationsschrift angenommenen Aufsatz „Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme“, dass die im Hilbertschen Programm zentrale Forderung nach einem Widerspruchsfreiheitsbeweis für die Axiome der Arithmetik (zweites Hilbertsches Problem) in der ursprünglichen allgemeinen Fassung nicht erfüllt werden kann, da er mit den finiten Methoden der Mathematik selbst nicht geführt werden kann. Gödel bewies, dass jedes für die Darstellung der elementaren Zahlentheorie (Arithmetik) ausreichende und widerspruchsfreie System von Axiomen syntaktisch unvollständig ist. In einem solchen System S lässt sich nämlich ein einfacher arithmetischer Satz A konstruieren, sodass weder A noch seine Negation bewiesen werden kann. Dieser Satz ist allerdings selbst wahr, weil er seine eigene Unbeweisbarkeit in S mittels der Syntax von S ausdrückt (Erster Unvollständigkeitssatz). Es lässt sich weiterhin eine Aussage C konstruieren, die die Widerspruchsfreiheit von S in der Arithmetik ausdrückt, die aber in S nicht beweisbar ist, wenn S widerspruchsfrei ist (Zweiter Unvollständigkeitssatz). Für den Beweis verwendete Gödel ein Verfahren, mit dem Strukturen in natürlichen Zahlen kodiert werden können (Gödelisierung).

Gödels Arbeiten markieren einen Wendepunkt in den Bemühungen um eine Grundlegung der Mathematik, die mit der Ausbildung der modernen Strukturmathematik einhergingen. Gödels Grundlagenarbeiten standen im Kontext des axiomatischen Programms David Hilberts (1862–1943), der 1899 exemplarisch eine neuartige Axiomatisierung mathematischer Disziplinen vorschlagen hatte, in der kein Bezug auf Evidenz oder eine außermathematische Realität genommen wurde. Die Gültigkeit des Systems wurde durch meta-axiomatische Beweise der Unabhängigkeit der Axiome voneinander, der Vollständigkeit des axiomatischen Systems und seiner Widerspruchsfreiheit gezeigt. Gemäß dem logizistischen Paradigma, wonach sich alle mathematischen Grundsätze aus logischen Prinzipien ableiten ließen, setzte dies eine widerspruchsfreie Axiomatisierung der formalen Logik voraus.

Seit 1933 war Gödel Privatdozent für Mathematik an der Universität Wien. 1933/34 war er auf Einladung Oswald Veblens (1880–1960) am Institute for Advanced Study in Princeton (New Jersey, USA) tätig; 1935 und 1938/39 folgten weitere Gastaufenthalte dort. Zunehmende psychische Probleme Gödels erzwangen zwischenzeitlich Sanatoriumsaufenthalte in Wien. Von 1937 an befasste er sich mit aktuellen Problemen der axiomatisierten Mengenlehre. Er bewies, dass die Kontinuumshypothese (CH) und das umstrittene Auswahlaxiom (AC) konsistent mit dem von Ernst Zermelo (1871–1953) vorgelegten und von Abraham A. Fraenkel (1891–1965) modifizierten Axiomensystem für die Mengenlehre (ZF) ist.

Nach dem „Anschluss“ Österreichs emigrierte Gödel 1940 mit seiner Frau in die USA, wo er ordentliches Mitglied am Institute for Advanced Study, 1946 permanentes Mitglied und 1953 zum Professor ernannt wurde. 1948 erhielt er die US-amerikanische Staatsbürgerschaft. Zu Gödels engsten Freunden am Institut gehörten Albert Einstein (1879–1955) und der ebenfalls aus Wien emigrierte Wirtschaftswissenschaftler Oskar Morgenstern (1902–1977).

Seit 1943 konzentrierte sich Gödel auf philosophische Studien. Mit seiner Diskussion von Russells mathematischer Logik (1944) legte er einen ersten Beitrag zur Ontologie mathematischer Gegenstände vor. In seiner Variante des Platonismus spricht er mathematischen Objekten eine vom Geist unabhängige Existenz zu und damit eine zu physikalischen Objekten analoge Realität. Die Wahrheit mathematischer Aussagen werde durch die von den Objekten konstituierte objektive Realität bestimmt. Gödel studierte auch Immanuel Kant (1724–1804), Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) und die Phänomenologie Edmund Husserls (1859–1938). Zwischen 1947 und 1951 arbeitete er u. a. zur Allgemeinen Relativitätstheorie und zu kosmologischen Theorien, nach denen Zeitreisen in die Vergangenheit möglich wären.

Gödel litt seit den späten 1960er Jahren unter starken gesundheitlichen und mentalen Einschränkungen, sodass er aufgrund paranoider Vorstellungen, er könnte vergiftet werden, an Unterernährung und Entkräftung starb.