Gesicherte Informationen zur schulischen Laufbahn Kösters liegen nicht vor, wahrscheinlich besuchte er eine Volksschule in der Nähe von Pausa (heute Pausa-Mühltroff, Vogtland). Seit März 1915 leistete er in Frankreich Kriegsdienst in einem Armierungs-Bataillon, seit Juli 1917 in der Fernmeldeeinheit der 103. Infanterie-Division, wo er eine Ausbildung zum Fotografen begann. In dieser Zeit machte Köster Bekanntschaft mit dem Leiter des Berliner Ernst Wasmuth Verlags, Günther Wasmuth (1888–1974), der ihm nach Ende des Ersten Weltkriegs ermöglichte, seine Ausbildung in dessen Verlag abzuschließen. Gegen Ende 1920 übernahm Köster die Leitung der verlagseigenen Bildstelle, die fotografische Reproduktionsvorlagen für die Buch- und Zeitschriftenpublikationen mit thematischem Schwerpunkt auf Kunst und Architektur herstellte, u. a. für die Architekturzeitschrift „Wasmuths Monatshefte für Baukunst“.

Im November 1926 gründete Köster ein Atelier in Berlin-Lichterfelde, das seit etwa 1928 den Namen „Fotowerkstatt für Architektur“ trug. Seine Auftraggeber rekrutierte er aus den im Wasmuth Verlag geknüpften Beziehungen; nahezu alle namhaften Architekten der Moderne und des „Neuen Bauens“ zählten in den folgenden Jahren zu seinen Kunden, darunter Egon Eiermann (1904–1970), Walter Gropius (1883–1969), Otto Haesler (1880–1962), die Brüder Hans (1890–1954) und Wassili Luckhardt (1889–1972), Otto Rudolf Salvisberg (1882–1940), Hans Scharoun (1893–1972), Thilo Schoder (1888–1979) sowie Bruno Taut (1880–1938) und Max Taut (1884–1967). Besonders hervorzuheben ist Kösters Zusammenarbeit mit Erich Mendelsohn (1887–1953) seit 1923, die über ein Jahrzehnt andauerte und beispielhaft für die inhaltliche und formale Durchdringung von architektonischer Idee und baulicher Realisierung sowie deren fotografischer Rezeption in der Moderne steht.

In seinen technisch brillant ausgearbeiteten Architekturfotografien setzte Köster Konzepte der Bildgestaltung des „Neuen Sehens“ und der Fotografie der Neuen Sachlichkeit ein. In seinen weit über reine Baudokumentation hinausgehenden Bildern erreichte er eine dichte Visualisierung der jeweiligen architektonischen Idee, des Baukonzepts sowie der praktischen Bauausführung. Kösters Fotografien wurden in Fachbüchern und -zeitschriften – u. a. in der Buchreihe „Neue Werkkunst“ und in der Zeitschrift „Bauwelt“ – abgedruckt, als Postkarten verlegt und als Großabzüge in Architekturausstellungen, etwa in der Section Allemande auf der Jahresausstellung der Société des artistes décorateurs 1930 in Paris, präsentiert. Bis heute prägen seine Architekturansichten die Vorstellung und das Verständnis der Architektur der Weimarer Republik.

Während viele seiner Auftraggeber seit 1933 nur eingeschränkt aktiv sein konnten oder emigrierten, setzte Köster im „Dritten Reich“ seine Arbeit als Architekturfotograf unter den kulturpolitischen und ideologischen Vorgaben der Nationalsozialisten fort; Mitgliedschaften in der NSDAP und der Reichskulturkammer lassen sich nicht nachweisen. Köster reduzierte seit 1933 seinen experimentell-interpretatorischen Bildstil und beschränkte sich auf Architekturdokumentationen mit konventionellen Gesamtansichten sowie auf Modellfotografie. Vor allem durch seine Verbindung mit dem Architekten Ernst Sagebiel (1892–1970) erhielt er prestigeträchtige Aufträge, u. a. im Zusammenhang mit dem Neubau des Flughafens Berlin-Tempelhof und dem Bau des Reichsluftfahrtministeriums. Weiteres Bildmaterial, das im NS-Staat zu Propagandazwecken eingesetzt wurde, lieferte Köster im Zusammenhang mit dem Bau der Reichsautobahnen.

Nach dem Zweiten Weltkrieg erhielt Köster Aufträge durch frühere Kunden wie Luckhardt und Scharoun. Zudem fotografierte er Großprojekte der Berliner Nachkriegsstadtplanung, u. a. die Bauten der Internationalen Bauausstellung 1957. Seine Fotografien waren technisch weiterhin in bester Qualität ausgearbeitet, die Bildsprache blieb aber auf ein zurückhaltendes, dokumentierendes Formenvokabular beschränkt; an die ästhetische Wirkmächtigkeit und Modernität seiner Architekturfotografien vor 1933 reichen die Aufnahmen nach 1945 nicht heran.

1959 übergab Köster den Betrieb an seinen von ihm ausgebildeten Bruder Walter Köster (1904–1988). Nach dessen Rückzug aus dem Berufsleben 1969 wurde das schon in der frühen Nachkriegszeit stark beschädigte Archiv des Betriebs aufgelöst und z. T. an frühere Kunden vermittelt; Bildkonvolute haben sich u. a. in den Nachlässen von Mendelsohn und Scharoun erhalten, während ein Großteil des Archivs heute als verschollen gilt. Die stilbildende Wirkung von Kösters Fotografien der Architektur der Moderne lässt sich auch postum nachweisen, etwa in den Fotografien von Klaus Kinold (1939–2021), Julius Shulman (1910–2009) und Margherita Spiluttini (1947–2023).