Aus kleinbürgerlichen Verhältnissen stammend, besuchte Baumann das Oberrealgymnasium in Freiburg im Breisgau, wo er nach dem Abitur 1920 ein Studium der Anthropologie, Völkerkunde, Geologie, Geographie und Philosophie begann. 1921 wechselte er nach Berlin und wurde im Juni 1926 bei dem Völkerkundler Karl Weule (1864–1926) an der Universität Leipzig mit der Dissertation „Die materielle Kultur der Azande und Mangbetu“ zum Dr. phil. promoviert. Zu Baumanns akademischen Lehrern gehörten Eugen Fischer (1874–1967), Ernst Grosse (1862–1927), Alfred Vierkandt (1867–1953), Diedrich Westermann (1875–1956) und Bernhard Ankermann (1859–1943), unter dem er bereits seit 1921 in der Afrika-Abteilung des Museums für Völkerkunde in Berlin tätig war. In dieser Abteilung erhielt Baumann 1927 eine Stelle als wissenschaftliche Hilfskraft, 1934 stieg er zum Leiter der neu gegründeten Abteilung Eurasien des Berliner Museums für Völkerkunde auf.

Im Januar 1929 nahm Baumann seine Arbeit im völkischen Kampfbund für Deutsche Kultur auf und trat am 1. August 1932 der NSDAP bei, in der er die politische Führung (Block- und Zellenleiter) verschiedener Berliner Ortsgruppen übernahm. Von 1928 bis 1941 war er Schriftleiter der „Zeitschrift für Ethnologie“ und als Geschäftsführer der Berliner Gesellschaft für Anthropologie, Ethnologie und Urgeschichte von 1934 bis 1939 zudem Herausgeber dieses renommierten Fachorgans. Unter seiner Geschäftsführung schloss die Gesellschaft jüdische Mitglieder aus, darunter am 26. November 1938 Franz Boas (1858–1942).

Im Auftrag des Museums für Völkerkunde Berlin und begleitet von Heinrich Meinhard (1900–1975) unternahm Baumann 1930/31 zum Volk der Chokwe im Nordosten der portugiesischen Kolonie Angola eine ethnologische Forschungsreise, deren Ergebnisse er 1935 veröffentlichte. Aufbauend auf dem von Leo Frobenius (1873–1938) und Ankermann entwickelten Kulturkreisschema für den afrikanischen Kontinent und überzeugt von der Überlegenheit der „nordischen Rasse“, betonte er 1934 die Abhängigkeit der Kultur von der Rasse und stellte eine „hellhäutige Jägerrasse“ an den Anfang der kulturellen Entwicklung Afrikas. Seine Kulturkreiskonzeption beschränkte sich auf den afrikanischen Kontinent, wodurch sie sich von der theologisch und universalistisch orientierten „Wiener Schule“ der Ethnologie unterschied. Seine Habilitationsschrift „Schöpfung und Urzeit des Menschen im Mythus der afrikanischen Völker“ (1936) bot eine neue und erstmals umfassende kulturgeschichtliche Gliederung der rund 2500 Märchen und Mythen Afrikas.

Nach dem „Anschluss“ Österreichs an das „Dritte Reich“ wurde Baumann im Oktober 1939 als Nachfolger des aus politischen Gründen entlassenen Wilhelm Koppers (1886–1961) ordentlicher Professor am Institut für Völkerkunde der Universität Wien. Während des Zweiten Weltkriegs im Sinne der NS-Ideologie v. a. mit kolonialen Themen beschäftigt, gab Baumann 1940 mit Richard Thurnwald (1869–1954) und Westermann den Sammelband „Völkerkunde von Afrika“ heraus. In dem von ihm verfassten Teil „Völker und Kulturen Afrikas“ distanzierte er sich von der diachronen Gliederung in Kulturschichten und teilte Afrika in 27 historisch differenzierbare Kulturprovinzen ein. In Anlehnung an Egon von Eickstedt (1892–1965) vertrat er die heute überholte Hamitentheorie, welche die aus Asien stammenden „Hamiten“ als die Kulturbringer für den afrikanischen Kontinent identifizierte. Ein von der Kolonialwissenschaftlichen Abteilung des Reichsforschungsrats angeregtes „Handbuch der afrikanischen Stämme“ unter der Federführung Baumanns, Westermanns und Bernhard Strucks (1881–1971) wurde trotz der Bereitstellung hoher Forschungsgelder nicht realisiert.

Im April 1945 verließ Baumann das Wiener Institut, floh nach Oranienburg (Brandenburg) und arbeitete in den ersten Nachkriegsjahren u. a. als Straßenarbeiter und Sargtischler in der sowjetischen Besatzungszone. 1948 übersiedelte er nach Westdeutschland und beantragte seine Entnazifizierung bei der Spruchkammer in Mainz, die ihn am 18. Mai 1949 als „Mitläufer“ einstufte. Seit 1951 erhielt er Lehraufträge an der Universität Mainz unter Adolf Friedrich (1914–1956), der sich 1943 bei Baumann in Wien habilitiert hatte. In diesen Jahren entstanden u. a. der Beitrag „Die Rassen Afrikas“ für das von Fritz Valjavec (1909–1960) herausgegebene Handbuch „Historia Mundi“ (1952) sowie der Band „Afrika“ in der populären Buchreihe „Oldenbourgs Abriss der Weltgeschichte“ (1954). Inhaltlich weisen beide Arbeiten sprachliche und inhaltliche Kontinuitäten zu Baumanns Arbeiten der NS-Zeit auf.

1954 unternahm Baumann mit Unterstützung der Deutschen Forschungsgemeinschaft eine zweite Forschungsreise nach Angola. Ein Jahr später wurde er ordentlicher Professor für Völkerkunde an der Universität München, wo er bis zu seiner Emeritierung 1967 lehrte. In seiner international beachteten Studie „Das doppelte Geschlecht“ (1955) dokumentierte er das Phänomen der Bisexualität weltweit und verfolgte seine Ursprünge in sog. archaische Hochkulturen, die er außerhalb Afrikas verortete. 1972 unternahm Baumann eine weitere Reise nach Angola, um die ethnografische Sammlung seiner Reise von 1954 zu bearbeiten, die sich bis heute im Besitz des angolanischen Museu do Dundo befindet. Nach zwei Monaten kehrte er an Malaria erkrankt zurück und starb unmittelbar nach seiner Ankunft in München.

Baumann hatte zahlreiche Schülerinnen und Schüler, darunter Beatrix Heintze (geb. 1939), Wolfgang Marschall (geb. 1937), Erika Sulzmann (1911–1989) und László Vajda (1923–2010). 1975/79 erschien das zweibändige Werk „Die Völker Afrikas und ihre traditionellen Kulturen“ mit drei aus dem Nachlass stammenden Beiträgen Baumanns, die der vor 1945 entworfenen Einteilung Afrikas in Kulturprovinzen folgen. Der Begriff „Rasse“ wurde in ihnen weitgehend durch den Begriff „Biotypus“ ersetzt.