Klink besuchte 1934/35 Gymnasien in Berlin und Heidelberg, von 1935 bis 1938 die Nationalpolitische Erziehungsanstalt in Naumburg an der Saale und von 1938 bis 1940 die Freie Schulgemeinde Wickersdorf (Thüringen). Seine Jugend war geprägt von der Tätigkeit und dem Milieu seiner seit 1934 als „Reichsfrauenführerin“ wirkenden Mutter Gertrud Scholz-Klink (1902–1999), eine der wenigen weiblichen Führungspersonen innerhalb der NSDAP. Am 20. Juli 1941 trat Klink als Freiwilliger in die Waffen-SS (Leibstandarte SS Adolf Hitler) ein, mit der er seit Oktober 1941 in der Ostukraine im Kriegseinsatz war und die 1942 nach Frankreich verlegt wurde. Zu seinem Mentor in der Leibstandarte wurde der Bataillons- und Regimentskommandeur Joachim Peiper (1915–1976). Nach zwei längeren Erkrankungen kehrte Klink im April 1943 zum Verband zurück und erlitt am 5. Juli 1943 eine Verletzung am linken Unterschenkel, die ihn lebenslang beeinträchtigte.

Den Rest des Zweiten Weltkriegs verbrachte Klink in Lazaretten und an der Nationalpolitischen Erziehungsanstalt in Berlin-Spandau, wo er im März 1945 das Abitur erhielt. Nach Kriegsende übersiedelte er mit seiner Mutter nach Tübingen und studierte seit 1949 Geschichtswissenschaft und Germanistik. Ungewöhnlich für die frühe Nachkriegszeit waren zwei Auslandssemester 1951/52 und 1954/55 an der Universität Helsinki. 1957 wurde Klink bei Hans Rothfels (1891–1976) mit einer Studie zum finnisch-schwedischen Streit um die Ålandsinseln 1917–1921 zum Dr. phil. promoviert.

1958 wurde Klink einer der ersten zivilen Mitarbeiter im neu gegründeten Militärgeschichtlichen Forschungsamt der Bundeswehr (MGFA) in Freiburg im Breisgau, wo er sich als Fachmann für die Operationsgeschichte der Ostfront im Zweiten Weltkrieg etablierte. 1966 legte er die Studie „Das Gesetz des Handelns. Die Operation ‚Zitadelle‘“ vor, die als operationsgeschichtliches Standardwerk zum Krieg gegen die Sowjetunion gilt.

Als das MGFA Anfang der 1970er Jahre mit den Forschungen am Reihenwerk „Das Deutsche Reich und der Zweite Weltkrieg“ begann, argumentierte Klink für die Beschränkung auf ein rein militärisches Konzept: Fragen von Politik, Wirtschaft, Gesellschaft und zum nationalsozialistischen Vernichtungskrieg sollten außen vor bleiben. Mit dieser Position konnte sich Klink nicht durchsetzen. Um den von ihm als Teamleiter zu verantwortenden vierten Band des Reihenwerks zum deutschen Angriff auf die Sowjetunion 1941 entwickelte sich Anfang der 1980er Jahre eine hausinterne Auseinandersetzung, die auch zu öffentlich ausgetragenen Kontroversen führte. Klink wurde als Teamleiter durch den Leitenden Historiker, Manfred Messerschmidt (1926–2022), und durch den Leiter des Reihenwerks, Wilhelm Deist (1931–2003), übergangen und 1983 mit Erreichen der Regelaltersgrenze in den Ruhestand versetzt.

Während und nach seiner Dienstzeit unterstützte Klink die in der Hilfsgemeinschaft auf Gegenseitigkeit der Angehörigen der ehemaligen Waffen-SS (HIAG) organisierten Verfasser der Divisionsgeschichte der Leibstandarte SS Adolf Hitler mit Recherchen im Bundesarchiv sowie mit Textlektorat. Ob Klink Mitglied der HIAG wurde, ist unbekannt. Als sein früherer Vorgesetzter Peiper 1976 in Frankreich ermordet wurde, sicherte er dessen Nachlass.