Aus bescheidenen bürgerlichen Verhältnissen stammend, besuchte Eick seit 1926 das Vitzthum-Gymnasium in Dresden. Sein als Lehrer tätiger Vater wurde 1933 aus dem Schuldienst entfernt, nachdem er sich geweigert hatte, in die NSDAP einzutreten. Nach dem Abitur wurde Eick 1938 zum Reichsarbeitsdienst eingezogen. 1939 zur Wehrmacht einberufen, wurde er 1940 in Frankreich verwundet und als untauglich eingestuft. Seit 1941 studierte er in Berlin zunächst Philologie, später Nationalökonomie und Spanisch im Nebenfach. 1942 hielt sich Eick anlässlich einer Studienreise für einige Wochen in Madrid auf und lernte dort Fritz Otto Ehlert (1904–1973) kennen, der von 1950 bis 1973 Korrespondent der „Frankfurter Allgemeinen Zeitung“ (FAZ) in Spanien war. 1942 verfasste Eick einen Serientitel in der Reihe „Kriegsbücherei der Deutschen Jugend“ mit dem Titel „Panzerspähtrupp überfällig“ – eine Kurzgeschichte, die unkritisch das Kriegsgeschehen an der Ostfront verherrlicht.

Eick erlebte das Ende des Zweiten Weltkriegs in Süddeutschland und fand 1946 eine Anstellung als Sachbearbeiter beim Arbeitsamt der Stadt Augsburg. 1947 wurde er bei Carl Brinkmann (1885–1954) im Fach Nationalökonomie an der Universität Erlangen mit der Arbeit „Die wirtschaftlichen Folgen der Aufteilung Deutschlands in Zonen“ zum Dr. rer. pol. promoviert. Kurz vor der Promotion wechselte er als Lehrassistent des Wirtschaftswissenschaftlers und Journalisten Erich Welter (1900–1982) an die Universität Frankfurt am Main.

Die enge Zusammenarbeit mit Welter prägte Eicks weiteren Werdegang. 1946 waren beide in führender Position an der Gründung der „Deutschen Zeitung und Wirtschaftszeitung“ (DZ) in Stuttgart beteiligt. Während Welter das Blatt bereits 1947 wieder verließ, blieb Eick neben seiner Lehrassistenz bis 1948 Wirtschaftsredakteur der DZ. Danach verlagerte sich das berufliche Wirken beider nach Mainz. An der dortigen Universität übernahm Welter den Lehrstuhl für Nationalökonomie und initiierte die Gründung der „Allgemeinen Zeitung“ (AZ). Im Herbst 1948 wurde Eick hauptberuflicher Wirtschaftsredakteur des Blatts.

Als die AZ im November 1949 nach Frankfurt am Main überführt und zur FAZ wurde, rückte Eick in die Position des Leiters der Wirtschaftsredaktion auf. Welter wurde einer der fünf Gründungsherausgeber mit Zuständigkeit für den Wirtschaftsteil. Das operative Tagesgeschäft, wie Personalplanung, Themensetzung und Gestaltung der Arbeitsabläufe, wurde maßgeblich von Eick organisiert. In enger Abstimmung mit Welter betrieb er die bis heute prägende, marktwirtschaftliche Ausrichtung der FAZ. Er achtete bei der Auswahl neuer Redakteure auf eine fundierte Ausbildung an einem ordoliberalen Lehrstuhl und legte in enger Abstimmung mit seinen Redakteuren die redaktionelle Linie fest.

Seit Anfang der 1950er Jahre war Eick Mitglied vertraulicher Gesprächskreise zwischen Journalisten und hochrangigen Mitarbeitern des Bundeswirtschaftsministers und des späteren Bundeskanzlers Ludwig Erhard (1897–1977), bekannt als „Brigade Erhard“. Eick engagierte sich zudem in der Mont Pelerin Society, in der viele internationale wirtschaftsliberale Stimmen der Nachkriegsjahre zusammenfanden. 1963 wurde er Mitherausgeber der FAZ und beeinflusste mit Welter, der bis 1980 ebenfalls Herausgeber war, maßgeblich die Entscheidungen des fünfköpfigen (zeitweise vierköpfigen) Herausgebergremiums. 1970 spielten Eick und Welter eine zentrale Rolle bei der Entlassung des Herausgebers Jürgen Tern (1909–1975).

Eick schrieb insbesondere meinungsstarke Kommentare zu wirtschaftspolitischen Fragen, wie etwa zur Debatte um das Gesetz gegen Wettbewerbsbeschränkungen in den frühen 1950er Jahren oder gegen die Inflation der D-Mark in den 1970er Jahren. Sein Schreibstil war markant und pointiert, ohne wissenschaftlich komplexe Formulierungen und exaltierte Phrasen. 1985 wurde Eick Herausgeber von „Die Neue Ärztliche. Allgemeine Zeitung für Klinik und Praxis“, einem Schwesterblatt der FAZ, und schied 1986 aus dem Kreis der Herausgeber der FAZ aus. Sein Nachfolger wurde Jürgen Jeske (geb. 1935). Eick schrieb auch im Ruhestand regelmäßige Kommentare für die FAZ und wurde 1986 Mitglied des Kuratoriums der Fazit-Stiftung, die seit 1959 Trägerin der FAZ ist.