Nach dem Abitur am Johanneum in Hamburg 1904 studierte Bürger bis 1909 Medizin an der Universität Würzburg, mit Studienphasen in Kiel, Berlin und München. Während seiner Zeit als Medizinalpraktikant 1910 am Pathologischen Institut des Krankenhauses St. Georg in Hamburg arbeitete er an seiner Dissertation „Über Herzfleischveränderungen bei Diphterie“, mit der er 1911 an der Universität Würzburg zum Dr. med. promoviert wurde. Bürger erweiterte und vertiefte seine Kenntnisse an Instituten der Grundlagenforschung, wie dem Pharmakologischen Institut in Würzburg, dem Institut für Hygiene und Bakteriologie und dem Physiologisch-Chemischen Institut in Straßburg (Elsass, heute Strasbourg, Frankreich), wo ihn Arbeiten Paul Uhlenhuths (1870–1957) und Franz Hofmeisters (1850–1929) prägten. Seine klinische Tätigkeit begann Bürger 1914 an der Medizinischen Klinik in Königsberg (Preußen, heute Kaliningrad, Russland) unter Leitung seines Mentors Alfred Schittenhelm (1874–1954). Unter ihm habilitierte er sich 1918 mit der Schrift „Epidemisches Oedem und Enterokolitis“ (1919) an der Medizinischen Klinik der Universität Kiel zu Hungererkrankungen, wozu er als Truppenarzt während des Ersten Weltkriegs bei Fronteinsätzen geforscht hatte.

1918 zum Privatdozenten und 1922 zum außerplanmäßigen Professor für Innere Medizin an der Universität Kiel ernannt, arbeitete Bürger hier u. a. zur Hyperglykämie und Wirkung des Insulins, zum Cholesterin und unternahm erste Forschungen zur Alternsforschung. Seine Untersuchungen zur Osmotherapie gingen auf seine Erfahrungen bei der Behandlung von Soldaten zurück, die nach Kontakt mit Phosgen ein Lungenödem entwickelt hatten. Nach der Erstbeschreibung dieses Verfahrens zur Hirndrucksenkung durch Lewis H. Weed (1886–1952) und Paul S. McKibben (1886–1941) arbeitete Bürger bis in die 1950er Jahre hierzu. Bürger legte 1924 mit Schittenhelm das Lehrbuch „Pathologisch-physiologische Propädeutik“ (61958) vor. 1925 führte er das sog. Valsalva-Mannöver in Form einer Pressdruckprobe als Verfahren zur Messung von Herzkreislaufbelastungen in der Sportmedizin ein und wurde deshalb 1928 mit Sportärzten zu sportmedizinischen Messungen zu den Olympischen Spielen nach Amsterdam eingeladen.

Bürger wechselte 1929 als Direktor der Inneren Abteilung an das Städtische Krankenhaus Osnabrück, wo er an der baulichen und strukturellen Neuausrichtung der Klinik mitwirkte. 1931 folgte er einem Ruf als ordentlicher Professor für Innere Medizin und Direktor der Medizinischen Poliklinik an die Universität Bonn. Hier beschäftigte sich Bürger mit diabetologischen Fragestellungen und trug dazu bei, die Funktion des Hormons Glucagon aufzuklären. Mit dem Dermatologen Otto Grütz (1886–1963) beschrieb er 1932 erstmals eine seltene, familiär bedingte Fettstoffwechselstörung (Bürger-Grütz-Syndrom). Des Weiteren entwickelte und prüfte er sport- und ernährungsmedizinische Ansätze, wie die konservative Behandlung des diabetischen Fußes mit kohlenhydratreicher Nahrung und Ersatznahrung mit Nährhefe bei Eiweißmangel. Als Präsident der 13. Tagung der Deutschen Gesellschaft für Gastroenterologie, Verdauungs- und Stoffwechselkrankheiten (1936) führte er eine Veranstaltung des XI. Deutschen und des II. Internationalen Sportärztekongresses in Berlin im Vorfeld der Olympischen Spiele durch und arbeitete hierfür mit dem Vorsitzenden des NS-Sportärztebunds und Reichsarzts der SA, Emil Ketterer (1883–1959), zusammen.

1937 wurde Bürger zum Direktor der damals größten internistischen Klinik, der Medizinischen Klinik der Universität Leipzig ernannt, wo er sich auf seine Interessen an der Kreislauf-, Hepatitis- und Alternsforschung konzentrierte. Im selben Jahr trat er der NSDAP bei; ebenso war er Mitglied im NS-Dozentenbund, NS-Altherrenbund und NS-Ärztebund. Ob er aus Überzeugung handelte oder um seine wissenschaftliche Karriere zu befördern, ist unklar. Eine aktive Beteiligung Bürgers an NS-Verbrechen lässt sich nicht nachweisen; in einzelnen klinischen Studien aus Bürgers Klinik finden sich aus heutiger Sicht fragwürdige Rekrutierungsmethoden von Versuchspersonen.

1938 gründete Bürger die Deutsche Gesellschaft für Altersforschung, die er ein Jahr später in Deutsche Gesellschaft für Alternsforschung umbenannte, um zu verdeutlichen, dass es der Gesellschaft weniger um eine Heilkunde des Alters und mehr um die Prozesse des Alterns geht. Mit dem Hallenser Physiologen Emil Abderhalden (1877–1950) gab er die „Zeitschrift für Altersforschung“ heraus, deren Umbenennung analog zur Fachgesellschaft 1956 erfolgte und die er von 1951 bis 1966 allein herausgab. 1938 brachte Bürger mit dem Leipziger Ordinarius für Kinderheilkunde, Werner Catel (1894–1981), der an Verbrechen der „Kindereuthanasie“ beteiligt war, die „Deutsche Zeitschrift für Verdauungs- und Stoffwechselkrankheiten. Einschließlich Theorie und Praxis der Krankenernährung“ auf den Markt, die er bis zur kriegsbedingten Einstellung 1944 mit leitete und nach dem Wiedererscheinen 1949 allein herausgab.

Bürgers Forschungsschwerpunkt blieben die lebenslangen Alternsprozesse, denen er sich in einem 1926 veröffentlichten Beitrag über den Cholesteringehalt in unterschiedlichen Altersstufen in wenig durchblutetem Gewebe annäherte. Bürger definierte u. a. Knorpelgewebe einige Jahre zuvor als „bradytrophes“, d. h. überwiegend durch Diffusion ernährtes Gewebe mit vermindertem Stoffwechsel, und nutzte es, um Alternsvorgänge – möglichst unbeeinflusst von äußeren Faktoren – nachzuweisen. Zudem entwickelte er das Konzept der Physiosklereose als natürlichen, altersbedingten Elastizitätsverlust der Arterien. Der Begriff wurde kontrovers diskutiert, da eine Abgrenzung zur Arteriosklerose kaum möglich war.

Anders als Abderhalden konnte Bürger sich bei Ende des Zweiten Weltkriegs dem Abtransport durch die Alliierten in Richtung Westen widersetzen. Im Oktober 1945 wurde ihm das Direktorat der Leipziger Klinik entzogen, doch im Zuge des nachlassenden Elans der Entnazifizierung und vor dem Hintergrund der katastrophalen medizinischen Versorgung erfolgte im Herbst 1947 seine Wiedereinsetzung. Im selben Jahr veröffentlichte er das Kompendium „Altern und Krankheit“ (41960). Im Austausch mit dem Philologen Franz Dornseiff (1888–1960) entwickelte und prägte Bürger in den 1950er Jahren den Begriff Biomorphose, womit er die lebenslang stattfindenden Wandlungen des Körpers bezeichnete und sein Forschungsgebiet, die sog. Lebenswandlungskunde kennzeichnete, das er von den Begriffen Geriatrie und Gerontologie abgrenzte.

Bürgers Erkenntnisse, nicht nur in der Alternsforschung, fanden in Ost- und Westdeutschland, vereinzelt auch international, Beachtung. Er galt als Aushängeschild der medizinischen Wissenschaft in der DDR. 1957 emeritiert, blieb Bürger aufgrund von Schwierigkeiten bei der Nachbesetzung bis 1959 kommissarisch im Amt. Weil er lebenslang die Geriatrie im Sinne einer spezifischen Heilkunst für ältere Menschen ebenso wie die interdisziplinäre Herangehensweise der anglo-amerikanischen Gerontologie ablehnte, verlor er in der Alternsforschung seit den 1950er und 1960er Jahren zunehmend den Anschluss an internationale Entwicklungen. Zu seinen Schülern zählen u. a. Karl Henning Matthes (1905–1962), Werner Siede (1908–1990), Friedrich-Horst Schulz (1916–1982), Josef Nöcker (1919–1989), Peter Feudell (1919–2006), Konrad Seige (1921–2017) und Werner Ries (1921–2007).