Braun besuchte bis zu seinem Abitur 1943 ein Gymnasium in Alsdorf bei Aachen und leistete anschließend Kriegsdienst in der Sowjetunion und Österreich. Nach US-amerikanischer Kriegsgefangenschaft kehrte er 1946 nach Breinig (heute Stolberg) bei Aachen zurück und gründete die Im- und Exportfirma Kartoffel Braun, die er bis 1971 leitete. Danach war Braun als selbstständiger Unternehmensberater in Aachen tätig. Seit 1938 spielte er Fußball, war dem Sport später auch als Schiedsrichter verbunden und engagierte sich im Vorstand seines Heimatvereins SV Breinig (Vorsitzender 1956–1959). Von 1983 bis 1987 gehörte Braun dem Verwaltungsrat des 1. FC Köln an.

Am 4. August 1973 zum Präsidenten des Fußball-Verbands Mittelrhein und drei Wochen später zum Vizepräsidenten des Westdeutschen Fußball-Verbands gewählt, förderte Braun v. a. den Jugendfußball in der Region. Am 29. Oktober 1977 wurde er Schatzmeister, am 24. Oktober 1992 als Nachfolger Hermann Neubergers (1919–1992) achter Präsident des Deutschen Fußball-Bunds (DFB); ebenfalls 1992 wurde er in das Präsidium des Nationalen Olympischen Komitees für Deutschland (seit 2006 Deutscher Olympischer Sportbund) aufgenommen. Am 27. April 2001 trat Braun aus gesundheitlichen Gründen als DFB-Präsident zurück; sein Nachfolger wurde der baden-württembergische Politiker Gerhard Mayer-Vorfelder (1933–2015). Bald nach seinem Rücktritt wurde Braun zum DFB-Ehrenpräsidenten ernannt. In dieser Funktion gehörte er bis zu seinem Tod dem DFB-Präsidium an und war seit 2001 Vorsitzender des Vorstands der ihm gewidmeten DFB-Stiftung Egidius Braun, deren Ziel es ist, neben Sport und Kultur u. a. Erziehung, Jugendhilfe und Völkerverständigung zu fördern und für religiös, politisch oder rassistisch Verfolgte einzutreten.

International wirkte Braun seit 1980 als Mitglied der EM-Organisationskommission der europäischen Fußball-Union UEFA (seit 1992 als deren Vorsitzender), deren Exekutivkomitee er seit 1988 angehörte, der er seit 1992 als Vizepräsident vorstand und für die er seit 1996 das Amt des Schatzmeisters übernahm. Nach seinem Ausscheiden aus diesen Funktionen 2000 wurde er UEFA-Ehrenmitglied.

Große Anerkennung über die Grenzen der Bundesrepublik hinaus und hohe Ehrungen erhielt Braun, der den Fußballsport in der Pflicht sah, gesellschaftliche und karitative Aufgaben zu übernehmen, für seinen Einsatz für Menschen in wirtschaftlich schwachen Staaten. So initiierte er 1986, angeregt durch seinen Besuch der Fußball-Weltmeisterschaft in Mexiko als Delegationsleiter, die bis heute bestehende Mexico-Hilfe des DFB, die u. a. eine Kindertagesstätte und ein Schulzentrum sowie ein Straßenkinderprojekt fördert, und begründete die Unterstützung des DFB für Kinder in Osteuropa. Braun veranlasste 1995 die Festschreibung der gesellschaftlichen Verantwortung des DFB in dessen Satzung; seine Forderung „Fußball – mehr als ein 1:0“ fand 2001 Eingang in die Präambel der nach ihm benannten DFB-Stiftung.

Braun gab UEFA und DFB wichtige Impulse: Die von ihm entwickelten Vermarktungsansätze auch im Bereich des Pay-TV wirken bis heute nach. Für den DFB verhandelte Braun als Schatzmeister und später als Präsident wichtige Sponsoringvereinbarungen. Neben seiner unternehmerischen Tätigkeit und seinen Funktionärsaufgaben engagierte sich der gläubige Katholik Braun als Organist in einem Aachener Kloster.